П`ятниця, 27.06.2025, 20:00Вітаю Вас Гість | RSS
Зовнішнє оцінювання
Головне меню
Календар
«  Червень 2010  »
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
282930
 Головна » 2010 » Червень » 7 » Приклади з модулем
17:40
Приклади з модулем
<p> Приклади з модулем <p> Модуль трапляється в конкурсних завданнях при розв’язуванні різних прикладів, причому досить часто, тому потрібно чітко усвідомлювати його означення. Формально модуль означається за допомогою формули . Тут головним є те, що для розв’язування прикладу треба позбутися вертикальних рисочок. <p> Нагадаємо схеми розв’язання деяких основних типів рівнянь з модулем: <p> 1.) <p> 2.) <p> 3.) <p> Приклад. Розв’язати рівняння . <p> Якщо абсолютні величини рівні, то числа рівні або протилежні: <p> Відповідь: . <p> Приклад. Розв’язати рівняння . <p> Оскільки рівність задає на числовій прямій геометричну множину точок, сума відстаней від яких до двох заданих точок з координатами –2 і 6 дорівнює 8, то відповідно буде – безліч розв’язків. <p> -2 6 х <br /> <p> Відповідь: . <p> Таким чином, можемо зробити наступне зауваження: <p> Зауваження. Деякі рівняння (нерівності) з абсолютною величиною легко розв’язуються усно, якщо застосувати геометричну інтерпретацію модуля. <p> Зауваження. Рівняння , можна також розв’язати використовуючи геометричний зміст модуля: прочитавши рівняння так: Знайти точку, відстані від якої до точок 0 і –5 і 2 рівні між собою. <p> Приклад. Розв’язати рівняння: , де , – деякі функції. <p> Часто розв’язання таких рівнянь послідовним розкриттям знаків модулів дуже громіздке. Такі рівняння найпростіше розв’язувати методом інтервалів. Для цього знаходять всі точки, в яких хоча б одна із функцій , змінює знак. Ці точки ділять область допустимих значень рівняння на проміжки, на кожному з яких всі функції , зберігають знак. Використовуючи означення модуля, переходять від рівняння до сукупності систем, які не містять знаків модулів. <p> Аналогічно можна розв’язувати і відповідні нерівності: . <p> Розв’язуючи завдання на кожному з таких проміжків, стежать за тим, щоб множини здобуваних розв’язків перетиналися з тими множинами, для яких тим чи іншим способом використовувалось означення модуля. Пояснимо це на деяких прикладах. <p> Приклад. Розв’язати нерівність . <p> Знайдемо спочатку точки, при переході через які вирази, що стоять під знаком модуля, змінюють знак. Звичайно ці точки є коренями виразів, що стоять під знаком модуля. Для розглядуваного прикладу це х1=1 і х2=5. Числова пряма розбивається на проміжки, в яких вирази, що стоять під знаком модуля, зберігають знак. Запишемо, використовуючи означення модуля, нерівність для кожного з цих проміжків: <p> 1) х<1, маємо: <p> 2) маємо: <p> 3) , маємо: . <p> У першому випадку здобута нерівність виконується для будь-якого х з множини . У другому нерівність має розв’язок оскільки таким чином прибирається знак модуля в початковій нерівності тільки для І, нарешті, у третьому випадку нерівність не виконується для жодних , тому на цій множині розв’язки відсутні. Остаточно маємо При розв’язуванні системи рівнянь можна, наприклад, за допомогою другого рівняння виключити з першого рівняння і розв’язувати рівняння . А можна записати чотири системи рівнянь з відповідними обмеженнями на вирази, що входять під знак модуля: <p> Розв’язок х=2, у=3 має тільки перша система, розв’язки решти систем не задовольняють умови, при виконанні яких ці системи здобуто. Більш наочно залежність розв’язків прикладів з модулем від множин, на яких тим чи іншим способом згідно з означенням прибирають знак модуля, можна побачити при виконанні алгебраїчних перетворень. <p> Приклад. Спростити вираз Проміжки знакосталості виразів, що стоять під знаком модуля, розділені точками m=0 і m=3, тому маємо три випадки: <p> 1. Якщо m<0; , то <p> 2. Якщо , то <p> 3. Якщо m>3, то <p> Нагадаємо також, що до розкриття модуля належать і приклади, які містять повний квадрат під знаком кореня парного степеня, оскільки <p> Приклад. Розв’язати рівняння <p> Виділимо під знаком кореня повні квадрати: <p> Зробимо заміну Проміжки знакосталості розділені точками t=2, t=3, тому маємо <p> 1). <p> 2). <p> 3). <p> Остаточно маємо розв’язок , або для х дістаємо <br />
Переглядів: 3322 | Додав: regikso | Рейтинг: 3.0/2
Всього коментарів: 0
Ім`я *:
Email *:
Код *:
Архів записів
Друзі сайту
Block title