Готуємось незалежного оцінювання з математики

Вектор

regikso — Mon, 14 Jun 2010 19:04:32 GMT

Геометричний вектор — у фізиці і математиці це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком. В фізиці є чимало важливих величин, які є векторами, наприклад сила, положення, швидкість, прискорення, кутовий момент, імпульс, напруженість електричного і магнітного полів. Їх можна протиставити іншим величинам, таким, як маса, об’єм, тиск, температура та густина, які можна описати звичайним числом, їх називають «скалярами».

Графічно вектори зображають у вигляді напрямлених відрізків певної довжини . Наприклад, для графічного представлення сили величиною два Ньютони, треба намалювати відрізок прямої довжиною дві одиниці в напрямку дії сили. Стрілка вказує, що сила діє від точки A до точки B; якби сила діяла від B до A, то треба було б записати . Чисельне значення вектора А називається модулем чи довжиною і позначається |A|. Ця величина - скаляр. Два паралельних вектори, що мають однакові довжини, але протилежні напрямки, називаються протилежними. Якщо вектор позначено через , то протилежний йому вектор позначається через . Вектор, початок і кінець якого збігаються, називається нульовим і позначається .

Два вектора називаються рівними, якщо вони однієї довжини і їх напрямки збігаються. В механіці цим визначенням треба користуватися з обережністю, оскільки дві рівні сили, прикладені до різних точок тіла можуть призводити до різних результатів.

Багато алгебраїчних дій мають свої аналоги і для векторів: вектори можна додавати, віднімати, множити і ділити. Для цих операцій діють багато правил алгебри, як, наприклад, комутативність, асоціативність та дистрибутивність (віднімання трактується як особливий випадок додання). Суму двох векторів з однаковим початком можна знайти геометрично за допомогою правила паралелограма.
" align="left" border="1">

Перетворення подібності

Artyk — Mon, 07 Jun 2010 15:05:40 GMT

Перетворення подібностi

Перетворення фігури F у фігуру F ' називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстань між точками змінюється в одну й ту саму кількість разів (мал. 1). Це означає, що коли довільні точки X та Y фігури F при перетворенні подібності переходять у точки X' і Y' фігури F', то X'Y'=k .XY, причому число k – дне і те саме для всіх точок X і Y. Число k називається коефіцієнтом подібності. Якщо k=1, перетворення подібності, очевидно, є рухом.
Нехай F – дана фігура і O – фіксована точка (мал. 2). Через довільну точку X фігури F проведемо промінь OX і відкладемо на ньому відрізок OX', що дорівнює k,де k – додатне число. Перетворення фігури F, при якому кожна її точка X переходить у точку X', побудовану таким способом, називається гомотетією відносно центра O. Число k називається коефіцієнтом гомотетії, фігури F і F' називаються гомотетичними.
Теорема 11.1. Гомотетія є перетворення подібності.
Доведення: Нехай O – центр гомотетії, k – коефіцієнт гомотетії, X і Y – дві довільні точки фігури (мал. 3). У результаті гомотетії точки X і Y переходять у точки X' i Y' відповідно на променях OX i OY, причому OX'=k .OX, OY'=k .OY. Звідси маємо векторні рівності:
,Віднявши ці рівності почленно, дістанемо:
. Оскільки , , то . Отже, , тобто . Таким чином, гомотетія є перетворенням подібності. Теорему доведено.
Перетворення подібності широко використовується на практиці при використанні креслень деталей машин, споруд, планів місцевості тощо. Такі зображення – подібні перетворення уявних зображень в натуральну величину. Коефіцієнт подібності при цьому називається масштабом. Наприклад, якщо ділянка місцевості зображується в масштабі 1:100, то це означає, що одному сантиметру на плані відповідає 1 м на місцевості. Задача 2. У прямокутному трикутнику з вершини прямого кута проведені медіана й висота, відстань між їх основами дорівнює 1. Знайти катети, якщо відомо, що один з них у два рази більше іншого.
Оскільки а (Рис.5), то і
За умовою b=2а, отже тобто
Знаходимо і
Подібність трикутників
Дві фігури і називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності, тобто таким перетворенням, при якому відстані між точками змінюються (збільшуються або зменшуються) у те саме число разів. Якщо фігури і подібні, то пишеться ~ . В записі подібності трикутників ABC~ A1B1C1 передбачається, що вершини, що сполучаються перетворенням подібності, пишуться на відповідних місцях, тобто А переходить в A1, В – в B1, C – в C1.
З властивостей перетворення подібності випливає, що в подібних фігурах відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні. Зокрема, у подібних трикутників ABC і A1B1C1: A= A1, B= B1, C= C1, A1B1:AB=B1C1:BC=C1A1:СA.
Ознаки подібності трикутників
Два трикутники подібні, якщо:
два кути одного трикутника відповідно рівні двом кутам іншого трикутника;
дві сторони одного трикутника пропорційна двом сторонам іншого трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні;
3) три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника." align="left" border="1">

Парлельний перенос

Artyk — Mon, 07 Jun 2010 14:56:35 GMT

Параллельный перенос ― частный случай движения, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Иначе, если M ― первоначальное, а M' ― смещенное положение точки, то вектор ― один и тот же для всех пар точек, соответствующих друг другу в данном преобразовании.

Параллельный перенос перемещает каждую точку фигуры или пространства на одно и то же расстояние в одном и том же направлении.
На плоскости параллельный перенос выражается аналитически в прямоугольной системе координат при помощи

где вектор .
Совокупность всех параллельных переносов образует группу, которая в евклидовом пространстве является нормальной подгруппой группы движений, а в аффинном ― нормальной подгруппой группы аффинных преобразований." align="left" border="1">

Осьова симетрія

Artyk — Mon, 07 Jun 2010 14:40:52 GMT

Осьова симетрія, симетрія відносно осі — в евклідовій геометрії — вид дзеркального відбиття, при якому множиною нерухомих точок є пряма, яку називають віссю симетрії.
Для фігури, що переходить сама в себе при осьовій симетрії, пряма, утворена нерухомими точками руху, називається віссю симетрії фігури. Прикладом осі симетрії відрізка є його серединний перпендикуляр.
Будь-який рух площини можна представити у вигляді композиції не більш ніж трьох осьових симетрій.
Осьова симетрія у кристалічному тілі
Апарат теорії симетрії є основою мови, що описує геометрію кристалічних многогранників та кристалічних решіток. У кристалічному тілі існують:
• Прості поворотні осі 1-, 2-, 3-, 4- та шостого порядків (С1, С2, С3, С4, С6). Завдяки внутрішній будові (дальній порядок) за принципом кристалічної решітки в кристалах осі п'ятого, сьомого та вищих порядків неможливі.
• Дзеркально-поворотні осі, що включають поворот на елементарний кут з наступним відбиттям у перпендикулярній до осі симетрії площині. Дзеркально-поворотним осям відповідають інверсійні осі, дія яких полягає в повороті на елементарний кут з наступним відбиттям в особливій точці як у центрі інверсії. Позначаються лише міжнародними символами; арабськими цифрами з рискою зверху (1, 3, 4, 6)." align="left" border="1">

Поворот

Artyk — Mon, 07 Jun 2010 14:31:57 GMT

Поворот (обертання) - рух, при якому принаймні одна точка площини (простори) залишається нерухомою.

У фізиці нерідко поворотом називається неповне обертання, або, навпаки, обертання розглядається як приватний вид повороту. Останнє визначення строгіше, оскільки поняття поворот охоплює значно ширшу категорію рухів, у тому числі і таке, при якому траєкторія рухомого тіла в обраній системі відліку є незамкнутою кривою.

Пов'язані визначення

* нерухома точка називається центром обертання, нерухома пряма називається віссю обертання і т. д.

Типи обертань

* Обертання площини (простори) називається власним (обертання першого роду) або невласним (обертання другого роду) залежно від того, зберігає воно або немає орієнтацію площини (простори).
o Невласне обертання не можна зробити малим (у сенсі відстані між кожною точкою і її чином), власне - можна зробити скільки завгодно малим для будь-якої обмеженої області простору (тобто можна підібрати для обмеженої області скільки завгодно мале власне обертання).

На площині в прямокутних декартових координатах власне обертання виражається формулами

Описание: x'=x\cos\varphi-y\sin\varphi,

Описание: y'=x\sin\varphi+y\cos\varphi,

де /- кут повороту, а центр обертання вибраний на початку координат. За тих же умов невласне обертання площини виражається формулою

Описание: x'=x\cos\varphi+y\sin\varphi,

Описание: y'=x\sin\varphi-y\cos\varphi.

Властивості

* Якщо репер прив'язаний до центру обертання, то реалізується ортогональною матрицею.
o Обертання тривимірного евклідова простори (з фіксованим центром) утворюють групу O(власні - групу SO(3)).
o Обертання двовимірного простору (площини) утворюють відповідно групи O(2) і SO(ізоморфну U(1))." align="left" border="1">

Центральна симетрія

Artyk — Mon, 07 Jun 2010 14:25:04 GMT

Центру́льной симме́три́їй відносно точки A називають перетворення простору, що переводить точку X в таку точку X′, що A - середина відрізку XX′. Центральна симетрія з центром в точці A зазвичай позначається через ZA, тоді як позначення SA можна переплутати з осьовою симетрією. Фігура називається симетричною відносно точки A, якщо для кожної точки фігури симетрична нею точка відносно точки A також належить цій фігурі. Точка A називається центром симетрії фігури. Говорять також, що фігура має центральну симетрію.

Інші назви цього перетворення - симетрія з центром A. Проте можна помітити, що центральна симетрія є часткою випадком повороту, а саме, повороту на 180 градусів
•
Пов'язані визначення
• Якщо фігура переходить в себе при симетрії відносно точки A, то A називають центром симетрії цієї фігури.
Загальні властивості
• Центральна симетрія є рухом (ізометрією).
• У n -мерном просторі центральну симетрію можна представити як композицію n послідовних віддзеркалень відносно n взаємно перпендикулярних гіперплощин, що проходять через центр симетрії. Зокрема
o У четномерных просторах центральна симетрія зберігає орієнтацію, а в нечетномерных - не зберігає.
• Центральну симетрію можна представити також як гомотетію з центром A і коефіцієнтом − 1 .
• Композиція двох центральних симетрій - паралельне перенесення на подвоєний вектор з першого центру в другий:

Симетрія на прямій
У одновимірному просторі (на прямій) центральна симетрія є дзеркальною симетрією.
На площині
На площині (у 2-мірному просторі) симетрія з центром A є поворотом на 180° з центром A ( ). Центральна симетрія на площини, як і поворот, зберігає орієнтацію.
У тривимірному просторі
Центральну симетрію в тривимірному просторі називають також сферичною симетрією.
Її можна представити як композицію віддзеркалення відносно площини, що проходить через центр симетрії, з поворотом на 180° відносно прямої, що проходить через центр симетрії і перпендикулярної вищезгаданої площини віддзеркалення.
У чотиривимірному просторі
У 4-мірному просторі центральну симетрію можна представити як композицію двох поворотів на 180° навколо двох взаємно перпендикулярних площин (перпендикулярних в 4-мірному сенсі, див. Перпендикулярність площин в 4-мірному просторі), що проходять через центр симетрії." align="left" border="1">

Методи геометричних перетворень

Artyk — Mon, 07 Jun 2010 14:10:28 GMT

Увага до переміщення образiв цілком характеризує подання геометричних перетворень у сучасних вiтчизняних засобах навчання. Ще менше уваги в засобах навчання геометрiї придiляється найважливiшим видам дiяльностi, якi характеризують сформованість образного мислення, — перетворенню образiв і їхнiй побудовi.

Яскравою ілюстрацiєю недостатньої спрямованостi змiсту навчання геометрiї у школi на формування просторового мислення є культивацiя «плоского» мислення в основнiй школi. Введення просторових фiгур у курсi математики для 5-6 і 9 класiв не спростовує цього твердження.

Прагнення до систематичностi у викладаннi планiметрiї в основнiй школi є одним з виявiв дотримання девiзу: «Геометрiя заради геометрiЇ». Тому не дивно, що, приступаючи до навчання стереометрiї, вчителi впадають у розпач. Учнi не вмiють «виходити» у тривимірний простiр, а необхiдно приступати до систематичної побудови стереометрії на аксiоматичних засадах. Ще одним свiдченням звернення недостатньої уваги на формування просторового мислення є незначна роль у змiстi навчання зображень та побудови на зображеннях.

Задача 20. Плоский кут при вершині правильної чотирикутної піраміди дорівнює . Висота піраміди Н. Знайти площу основи піраміди.

Цю задачу можна розв'язати введенням допоміжного відрізка (сторони основи або бічного ребра), але це приводить до значних і громіздких перетворень.

Описание: 28Тимчасом ця задача є типовою для введення допоміжного кута. Ми з'ясовуємо учням, що коли б був відомий кут х нахилу бічної грані до основи або кут у нахилу бічного ребра до основи, то дальше розв'язання задачі не становило б ніяких труднощів. Визначимо один з цих кутів, наприклад, кут х (Рис.28).

Апофема МЕ є бісектриса плоского кута при вершині, тому ЕМС=

Якщо звернутись до трикутників ОМЕ і ЕМС, то ми помітимо, що перший з них має в собі шуканий кут х, а другий – відомий кут , і вони мають спільну сторону МЕ. Визначимо МЕ з кожного з цих трикутників через відрізки основи.

З ОМЕ маємо:

З ЕМС маємо: отже, ясно, що ОЕ=ЕС=, тому звідки

Тепер з трикутника ОМЕ знаходимо: площа основи S=4H2ctg2x, де соs х=.

Найчастіше відповідь до задачі ми залишаємо в такому вигляді, бо обчислення за цими рівностями дуже прості. Проте можна подати відповідь і через даний кут .

Справді,

Площа основи

Взявши до уваги, що кут х є гострий, можна відповідь до задачі подати і так:" align="left" border="1">

Векторний метод

Artyk — Mon, 07 Jun 2010 13:50:19 GMT

Задача 33. У паралелограмі АBСD (Рис.48) АВ=2ВС і М – середина сторони СD. Довести, що відрізки АМ і ВМ перпендикулярні.
Розв'язання. Щоб довести, що відрізки АМ i BM перпендикулярні, досить довести, що скалярний добуток векторів i дорівнює нулю.
Виберемо базисні вектори (найчастіше їх вибирають так, щоб вони виходили з однієї точки): і .
Виразимо потрібні нам вектори i через базисні. Оскільки М – середина DС, то і .
Знайдемо скалярний добуток векторів i .
Але і, враховуючи, що за умовою , дістаємо: , отже, відрізки АМ і ВМ перпендикулярні.
Зауважимо, що векторне розв'язування задач 32 і 33 фактично велося за одним й тим самим планом. Виділимо його в явному вигляді.
Схема розв'язування геометричних задач векторним методом:
1. Перекласти вимогу задачі на векторну мову.
2. Ввести прямокутну систему координат або вибрати два неколінеарні вектори на площині (або три некомпланарні вектори у просторі) як базисні.
3. Знайти координати векторів, виділених у пункті 1, або виразити ці вектори через базисні.
4. Довести або знайти виділене у пункті 1 співвідношення і перекласти результат на геометричну мову.
Інколи вектори можуть бути ефективно використані при розв'язуванні не тільки планіметричних, а й стереометричних задач, наприклад, задач на знаходження кутів між мимобіжними прямими або на обчислення відстаней між точками у просторі." align="left" border="1">

Приклади з модулем

regikso — Mon, 07 Jun 2010 13:40:50 GMT

Приклади з модулем

Модуль трапляється в конкурсних завданнях при розв’язуванні різних прикладів, причому досить часто, тому потрібно чітко усвідомлювати його означення. Формально модуль означається за допомогою формули . Тут головним є те, що для розв’язування прикладу треба позбутися вертикальних рисочок.

Нагадаємо схеми розв’язання деяких основних типів рівнянь з модулем:

1.)

2.)

3.)

Приклад. Розв’язати рівняння .

Якщо абсолютні величини рівні, то числа рівні або протилежні:

Відповідь: .

Приклад. Розв’язати рівняння .

Оскільки рівність задає на числовій прямій геометричну множину точок, сума відстаней від яких до двох заданих точок з координатами –2 і 6 дорівнює 8, то відповідно буде – безліч розв’язків.

-2 6 х

Відповідь: .

Таким чином, можемо зробити наступне зауваження:

Зауваження. Деякі рівняння (нерівності) з абсолютною величиною легко розв’язуються усно, якщо застосувати геометричну інтерпретацію модуля.

Зауваження. Рівняння , можна також розв’язати використовуючи геометричний зміст модуля: прочитавши рівняння так: Знайти точку, відстані від якої до точок 0 і –5 і 2 рівні між собою.

Приклад. Розв’язати рівняння: , де , – деякі функції.

Часто розв’язання таких рівнянь послідовним розкриттям знаків модулів дуже громіздке. Такі рівняння найпростіше розв’язувати методом інтервалів. Для цього знаходять всі точки, в яких хоча б одна із функцій , змінює знак. Ці точки ділять область допустимих значень рівняння на проміжки, на кожному з яких всі функції , зберігають знак. Використовуючи означення модуля, переходять від рівняння до сукупності систем, які не містять знаків модулів.

Аналогічно можна розв’язувати і відповідні нерівності: .

Розв’язуючи завдання на кожному з таких проміжків, стежать за тим, щоб множини здобуваних розв’язків перетиналися з тими множинами, для яких тим чи іншим способом використовувалось означення модуля. Пояснимо це на деяких прикладах.

Приклад. Розв’язати нерівність .

Знайдемо спочатку точки, при переході через які вирази, що стоять під знаком модуля, змінюють знак. Звичайно ці точки є коренями виразів, що стоять під знаком модуля. Для розглядуваного прикладу це х1=1 і х2=5. Числова пряма розбивається на проміжки, в яких вирази, що стоять під знаком модуля, зберігають знак. Запишемо, використовуючи означення модуля, нерівність для кожного з цих проміжків:

1) х<1, маємо:

2) маємо:

3) , маємо: .

У першому випадку здобута нерівність виконується для будь-якого х з множини . У другому нерівність має розв’язок оскільки таким чином прибирається знак модуля в початковій нерівності тільки для І, нарешті, у третьому випадку нерівність не виконується для жодних , тому на цій множині розв’язки відсутні. Остаточно маємо При розв’язуванні системи рівнянь можна, наприклад, за допомогою другого рівняння виключити з першого рівняння і розв’язувати рівняння . А можна записати чотири системи рівнянь з відповідними обмеженнями на вирази, що входять під знак модуля:

Розв’язок х=2, у=3 має тільки перша система, розв’язки решти систем не задовольняють умови, при виконанні яких ці системи здобуто. Більш наочно залежність розв’язків прикладів з модулем від множин, на яких тим чи іншим способом згідно з означенням прибирають знак модуля, можна побачити при виконанні алгебраїчних перетворень.

Приклад. Спростити вираз Проміжки знакосталості виразів, що стоять під знаком модуля, розділені точками m=0 і m=3, тому маємо три випадки:

1. Якщо m<0; , то

2. Якщо , то

3. Якщо m>3, то

Нагадаємо також, що до розкриття модуля належать і приклади, які містять повний квадрат під знаком кореня парного степеня, оскільки

Приклад. Розв’язати рівняння

Виділимо під знаком кореня повні квадрати:

Зробимо заміну Проміжки знакосталості розділені точками t=2, t=3, тому маємо

1).

2).

3).

Остаточно маємо розв’язок , або для х дістаємо
" align="left" border="1">

Координатний метод

Artyk — Mon, 07 Jun 2010 13:40:06 GMT

Головне при розв'язуванні геометричних задач координатним методом – вдалий вибір системи координат, тобто вибір початку координат і напряму осей. Звичайно за осі координат вибирають прямі, що фігурують в умові задачі, або осі симетрії (якщо вони є) фігур, розглядуваних у задачі. Бажано, щоб вибрана система координат природно визначалася умовою задачі." align="left" border="1">