Субота, 28.06.2025, 01:29Вітаю Вас Гість | RSS
Зовнішнє оцінювання
Головне меню
Календар
«  Червень 2010  »
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
282930
 Головна » 2010 » Червень » 6 » Показникові рівняння
17:47
Показникові рівняння
Показникові й логарифмічні рівняння та їх системи <p> Досвід вступних екзаменів показує, що розв’язання прикладів з логарифмічними виразами викликає великі труднощі в абітурієнтів. Хоча, якщо чітко усвідомити те, що логарифм є показник степеня, до якого потрібно піднести основу, щоб дістати число, що стоїть під знаком логарифма, і вивчити властивості логарифмів, усе досить просто. <p> Спинимось спочатку на виконанні перетворень логарифмічних виразів: обчислити . Зрозуміло, що для обчислення цього виразу треба якимось чином скористатись основною логарифмічною тотожністю . Для цього в показниках степеня перейдемо відповідно до основи 3 в першому виразі: , і приклад розв’язано. логіка розв’язування прикладів вигляду: знайти , коли відомо, що і пов’язана з використання формул перетворень логарифмів. Оскільки задано значення логарифмів за основою 14, то в шуканому виразі перейдемо до цієї основи: , і використовуючи те, що і , дістанемо: . Розв’язуючи логарифмічні рівняння, слід пам’ятати, що операції перетворення логарифмічних виразів також нееквівалентні. Залежно від того, в який бік виконуються перетворення: , можна або прибрати сторонні корені, або втратити корені. Так, якщо в лівій частині першої формули N1 і N2 мають бути одного знака, то в правій частині вони тільки додатні. Також треба обережно використовувати формули залежно від парності числа n. Так, . <p> Що ж слід мати на меті при розв’язуванні логарифмічних рівнянь? Звичайно ж – позбутися логарифмічної функції, а це можна зробити або шляхом заміни, або перетворивши рівняння так, щоб скористатися означенням логарифма і з виразу дістати . <p> Для розв’язання прикладу: розв’язати рівняння заміну не зробиш, тому з урахуванням того, що , і з властивостей логарифмів дістанемо: , або після зведення подібних доданків маємо: . За означенням логарифма дістаємо: . Рівняння має різні основи, тому перейдемо до однієї, наприклад 3, , звідки дістанемо: . <p> Область визначення рівняння є множина: , для цього випадку і після заміни , маємо: , звідки . Підставляючи ці значення у вираз для y, маємо розв’язки: . <p> Рівняння становить труднощі розв’язування його як ірраціонального, так і логарифмічного. Його ОДЗ . Зробивши заміну , дістанемо квадратне рівняння . З урахування обмежень воно має один корінь: або , звідки . Перевірку тут можна не робити, оскільки х належить ОДЗ. <p> При розв’язуванні показникових рівнянь потрібно намагатися звести початкове рівняння до вигляду . Як правило, число b є також деяким степенем основи а. Якщо ні, то, прологарифмувавши вираз, зведемо показникове рівняння до рівняння іншого типу. Так, у рівняння входить показникова функція з двома різними основами. Щоб знайти стандартний вигляд, спочатку перенесемо показникові функції з рівними основами до різних частин рівняння і зробимо деякі перетворення, тоді дістанемо: . Поділимо обидві частини рівняння на або і дістанемо . Звідси <br /> х=-3. Рівняння також містить показникову функцію з двома різними основами, але тут підхід до зведення рівняння до стандартного дещо інший. Перепишемо рівняння у вигляді і поділимо його почленно, наприклад, на , тоді рівняння заміною: зведеться до квадратного: , додатній корінь якого y=1; повертаючись до заміни маємо: . <p> Складніше розв’язувати показникові рівняння, в яких і основа і показник степеня є деякими функціями від х. Як правило, це двочленні рівняння, і для їх розв’язування потрібно перенести доданки в різні частини рівняння і прологарифмувати здобутий вираз, після цього заміною рівняння зводиться до алгебраїчного. Так, логарифмуючи рівняння за основою 2, дістанемо: , або після заміни: , маємо: і дістаємо розв’язки: . <p> Рівняння можна прологарифмувати, тільки спочатку перетворивши доданок . І тоді, коли воно набуває вигляду , прологарифмуємо обидві частини і маємо . <p> При розв’язуванні логарифмічних і показникових систем рівнянь слід керуватися тими самими ідеями, що і при розв’язку ірраціональних рівнянь. Тобто всі перетворення слід виконувати, керуючись тим, щоб позбутися «неприємних» логарифмічної і показникової функцій. <p> Використовуючи властивості дій з логарифмічними і показниковими виразами, систему рівнянь можна подати у вигляді: або без логарифмічної і показникової функцій . Остання система після заміни легко розв’язується. <p> Прологарифмуємо кожне з рівнянь системи за основою 5 або 4, дістанемо: з якої, виключивши , знайдемо х=-1, потім: . <p> Для розв’язування системи рівнянь зробимо заміни: , тоді система рівнянь набере вигляду: , і остаточно дістанемо відповідь: . <p> Якщо в рівняннях системи є показникова функція, основа якої залежить від невідомих, то найдоцільніше такі рівняння логарифмувати, щоб не втратити коренів. <p> Прологарифмувавши перше з рівнянь системи за деякою основою, дістанемо: . Здобута система розпадається на дві підсистеми і . Якщо першу систему дістати просто і з інших міркувань, урахувавши, що , то другу систему і розв’язок багато абітурієнтів втрачали. <p> <br />
Переглядів: 813 | Додав: regikso | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Ім`я *:
Email *:
Код *:
Архів записів
Друзі сайту
Block title