П`ятниця, 27.06.2025, 20:40Вітаю Вас Гість | RSS
Зовнішнє оцінювання
Головне меню
Календар
«  Червень 2010  »
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
282930
 Головна » 2010 » Червень » 7 » Ірраціональні рівняння
17:05
Ірраціональні рівняння
Ірраціональні рівняння <p> Розв’язування ірраціональних рівнянь полягає у зведенні їх до відповідних раціональних рівнянь, які рівносильні вихідним або є наслідком. Таке зведення до раціональних рівнянь проводиться в основному піднесенням обох частин до степеня з відповідним показником. При цьому спираються на наступні твердження ( – деякі функції): <p> 1. <p> 2. <p> 3. <p> 4. <p> 5. ; <p> 6. <p> 7. <p> 8. ; <p> Рівняння вигляду , де – деякі функції, розв’язують, як правило, наступним чином. Після піднесення до кубу обох частин рівняння одержують рівняння: . <p> Змінивши в цьому рівнянні вираз на , отримуємо рівняння: , яке є наслідком вихідного рівняння (для його коренів необхідно здійснити перевірку). <p> Головна мета при розв’язуванні ірраціональних рівнянь або їх систем – не позбутися ірраціональності. Вона досягається двома способами: або зміною, або піднесенням обох частин рівняння до відповідного степеня. Якщо при виконанні зміни, завдяки якій позбуваються ірраціональності, виконується еквівалентне перетворення, то при піднесенні обох частин до степеня, як правило, дістаємо лише наслідок з початкового рівняння. Зважаючи на це, розв’язування ірраціональних рівнянь слід починати зі знаходження ОДЗ рівнянь. Якщо це не зроблено, треба обов’язково виконати перевірку здобутих розв’язків з метою виявлення сторонніх коренів. <p> Приклад. Розв’язати рівняння . (1) <p> Подивимось на задане рівняння як на правильну числову рівність і будемо виконувати перетворення цього рівняння так, щоб числова рівність залишилася правильною. А саме: якщо у правильній числовій рівності перенести член з однієї частини в іншу з протилежним знаком, то рівність не порушиться. <p> Якщо числа рівні, то й квадрати їх також рівні: <p> Якщо обидві частини правильної числової рівності поділити на число , то рівність не порушиться: . <p> Якщо числа рівні, то і квадрати їх також рівні: . <p> Розкриваючи дужки і переносячи всі члени в один бік, ми знов дістаємо правильну рівність. Звідки знаходимо корені неповного квадратичного рівняння <p> Оскільки для розв’язування ми використали рівняння-наслідки, то до розв’язання входить також перевірка знайдених коренів підстановкою у початкове рівняння. <p> Перевірка. При з рівняння (1) одержуємо неправильну рівність (-1=1); тобто – сторонній корінь. При одержуємо правильну рівність (1=1), тобто – корінь. <p> Відповідь: 3. <p> Зауваження 1. Оформляючи розв’язування рівняння за допомогою наслідків, перевірку виконувати усно і замість записаної вище перевірки записати, наприклад, таку фразу: «Перевірка показує, що – корінь, а – сторонній корінь для заданого рівняння» і після цього – відповідь. <p> Зауваження 2. Відповідь до розглянутого рівняння можна записати також у вигляді (оскільки розв’язати рівняння – це означає знайти всі його розв’язки або довести, що їх немає). <p> Зауваження 3. Як бачимо, розв’язуючи розглянуте рівняння, ми не користувалися поняттям ОДЗ (області допустимих значень), тобто, якщо для розв’язування рівняння ми використаємо рівняння-наслідки, то знаходження ОДЗ рівняння не є обов’язковим. <p> Зазначимо також, що при використанні рівнянь-наслідків знаходження ОДЗ іноді ніяк не допомагає в розв’язуванні рівнянь. Наприклад, для розглянутого рівняння (1) ОДЗ: тобто . Як бачимо, обидва одержані корені входять в ОДЗ, але один з них корінь, а другий – сторонній корінь для заданого рівняння. Отже, головним для визначення того, чи потрібно виконувати перевірку, є не знаходження ОДЗ, а шлях розв’язування – яким методом ми користувалися – наслідками або рівносильними перетвореннями. <p> Приклад. Розв’язати рівняння <p> Подивимось на рівність (1) як на правильну числову рівність. При піднесенні обох частин рівності до куба рівність залишається правильною (для лівої частини використана формула ). <p> <p> Якщо правильні рівності (1) і (2), то підставляючи у (2) замість виразу в дужках число 1, знову одержуємо правильну рівність (3) і відповідно (4). Підставимо замість виразу в дужках його значення з (1), одержуємо <p> При діленні обох частин правильної рівності на знову одержуємо правильну рівність: <p> При піднесенні обох частин рівності до кубу рівність залишається правильною: <p> Природно, вона залишається правильною і при перенесенні членів в один бік (враховано, що ) і при винесенні спільного множника за дужки і так далі: <p> Перевірка. 1. – корінь () <p> 2. – сторонній корінь <p> Відповідь: 1. <p> Зауважимо, що порушення рівносильності перетворень сталося через те, що ми гарантуємо збереження правильної рівності при переході від рівностей (1) і (2) до (3), але не можемо гарантувати збереження правильної рівності при переході від рівності (3) до рівності (2). <p> Приклад. Розв’язати рівняння . <p> Знаходження ОДЗ цього рівняння пов’язане з розв’язуванням систем ірраціональних нерівностей, тому в даному випадку цього робити не потрібно. Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата, дістанемо: . Підносячи ще двічі до квадрата, остаточно дістанемо квадратне рівняння , корені якого . <p> Перевіркою встановлено, що – сторонній корінь. <p> Приклад. Розв’язати рівняння . <p> ОДЗ рівняння є множина всіх дійсних чисел. Піднісши обидві частини рівняння до куба, дістанемо . Використовуючи той факт, що вираз у дужках дорівнює 1, дістанемо рівняння: . Піднесемо його обидві частини ще раз до куба і після перетворень дістанемо , або . Перевіркою встановлюємо, що – сторонній корінь, отже, маємо . Якщо при розв’язуванні цього прикладу зробити зміну , то дістанемо систему рівнянь: , яка зводиться до рівняння , або , яке має єдиний корінь , або , і сторонніх коренів у цьому випадку не виникає. <p> Приклад. . <p> Якщо ірраціональне рівняння має корені різних степенів то при його розв’язуванні є сенс відразу зробити заміну , і дістати систему рівнянь , звести її до розв’язування рівняння , або , з якого маємо . <p> Нехай ми маємо рівняння вигляду . Його розв’язок можна отримати методом, викладеним у наступному прикладі. <p> Приклад. (1) <p> Складаємо нове рівняння (2), ліва частина якого є вираз, спряжений виразу, що стоїть в лівій частині (1), а права – нова невідома . <p> . (2) <p> Перемножимо рівняння (1) і (2): <p> (3) <p> Додаємо рівняння (1) і (3): <p> для кожного . <p> Відповідь: . <p> Використання властивостей взаємно-обернених функції <p> Приклад. Розв’язати рівняння , якщо . <p> Розглянемо функцію . Легко побачити, що функція обернена до функції , тобто для розв’язання рівняння достатньо розв’язати лише рівняння . <p> Відповідь: . <p> Використання властивостей монотонності функції <p> Приклад. Розв’язати рівняння . <p> Функція монотонно зростає на всій області визначення . Права частина рівняння – константа. Підбором знаходимо корінь рівняння . Враховуючи властивості монотонності функції , стверджуємо, що інших коренів немає. <p> Відповідь: . <p> Метод оцінки значення правої та лівої частини рівняння; отримання розв’язків за допомогою аналізу ОДЗ <p> Приклад. Розв’язати рівняння: . <p> Оцінимо праву частину рівняння: . Для лівої частини рівняння маємо оцінку: <p> , <p> оскільки вираз може приймати тільки невід’ємні значення. <p> Зробивши перевірку, переконуємося, що – корінь рівняння. <p> Відповідь: . <p> Стосовно знаходження ОДЗ, можна навести чимало прикладів, коли знання ОДЗ істотно спрощує розв’язки рівнянь. <p> Приклад. Розв’язати рівняння <p> Знайдемо ОДЗ рівняння: <p> . Отже, область визначення складається тільки з однієї точки . Перевіримо, чи буде це значення розв’язком вихідного рівняння: <p> . Як бачимо, – розв’язок рівняння. <p> Відповідь: . <p> Приклад. Розв’язати рівняння . <p> Відповідь: . <p> Приклад. Розв’язати рівняння . <p> Оцінимо праву частину рівняння: . Тобто Оскільки вираз може приймати тільки невід’ємні значення, маємо . Зробимо перевірку і запишемо відповідь. <p> Відповідь: . <p> Приклад. Розв’язати рівняння . <p> ОДЗ: . <p> Перевірка показує, що та – корені рівняння. <p> Відповідь: ; . <p> Приклад. Розв’язати рівняння . <p> Розглянемо другу нерівність системи: . Якщо , то знак модуля можна зняти. <p> Оскільки , то і , тоді перше рівняння системи буде мати вигляд: . При друга нерівність системи виконується. Отже, єдиний корінь рівняння . <p> Відповідь: . <p> Приклад. Розв’язати рівняння . <p> ОДЗ рівняння: . <p> Перевірка показує, що та є коренями рівняння. <p> Відповідь: ; . <p> Зауваження. Потрібно звернути увагу, що записуючи ОДЗ рівняння, часто не записують умову . Але, при функція існує і дорівнює нулю, якщо . Оскільки при знаходженні добутку нуля та будь-якого числа завжди отримаємо нуль. <p> Таким чином, інколи, відразу після перевірки ОДЗ, а інколи, ще додатково перевіривши деякі „приховані” властивості за змістом задачі, можна, майже не розв’язуючи рівняння, отримати відповідь. <p> Застосовуючи методи піднесення обох частин рівняння до степеня, метод введення нових змінних та інші, наведені вище методи, слід звертати увагу ще на такі методи розв’язання рівнянь: <p> а) взаємно-обернені вирази під знаком кореня; <p> б) необхідність виділення повного квадрату; <p> в) спрощення рівняння при застосуванні формул скороченого множення; <p> г) зведення ірраціонального рівняння до системи алгебраїчних рівнянь. <br />
Переглядів: 967 | Додав: regikso | Рейтинг: 2.0/1
Всього коментарів: 0
Ім`я *:
Email *:
Код *:
Архів записів
Друзі сайту
Block title