П`ятниця, 27.06.2025, 20:15Вітаю Вас Гість | RSS
Зовнішнє оцінювання
Головне меню
Календар
«  Червень 2010  »
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Нд
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
282930
 Головна » 2010 » Червень » 7 » Алгебраїчний метод
17:23
Алгебраїчний метод
Алгебраї́чні рівня́ння —рівняння виду де Р — многочлен від змінних . Ці змінні називають невідомими. <br /> Впорядкований набір чисел задовольняє цьому рівнянню, якщо при заміні x1 на a1, x2 на a2 і так далі отримується правильна числова рівність (наприклад, впорядкована трійка чисел (3, 4, 5) задовольняє рівнянню х2 + у2 = z2, оскільки 32 +42 = 52). Число, що задовольняє алгебраїчне рівняння з одним невідомим, називають коренем цього рівняння. Множина всіх наборів чисел, що задовольняють дане рівняння, є множиною розв’язків цього рівняння. Два алгебраїчні рівняння, що мають одну й ту ж множину розв’язків, називаються рівносильними. <br /> Степенем многочлена Р називається степінь рівняння Р(х1, ... , хn) = 0. Наприклад, 3х - 5у + z = с - рівняння першого степеня, х2 + у2 = z2 - другого степеня, а х4 - Зх3 + 1 = 0 - четвертого степеня. Рівняння першого степеня називають також лінійними. <br /> Алгебраїчне рівняння з одним невідомим має скінченну кількість коренів, а множина розв’язків алгебраїчного рівняння з великою кількістю невідомих може бути нескінченною множиною наборів чисел. Тому здебільшого розглядають не окремі алгебраїчні рівняння з n невідомими, а системи рівнянь і шукають набори чисел, які одночасно задовольняють всі рівняння цієї системи. Сукупність всіх таких наборів утворює множину розв’язків системи. Наприклад, множина розв’язків системи рівнянь така: {(3; 1), (3;-1), (-3; 1), (-3; -1)}. <br /> Розв'язки <br /> Алгебраїчні рівняння з одним невідомим степеня n завжди можна записати у вигляді . Формули для розв'язання алгебраїчних рівнянь 1-го ступеня ax + b = 0 і 2-го ступеня ax2 + bx + c = 0 (квадратне рівняння) даються в елементарній алгебрі. <br /> Відомі формули для розв'язання алгебраїчних рівнянь 3-го ступеня (кубічне рівняння) і 4-го ступеня. Для алгебраїчних рівнянь 5-го і вищих ступенів не існує загальної формули, яка б виражала корені через коефіціенти рівняння за допомогою скінченного числа арифметичних операцій і добування коренів (довів Н. Абель, поч. 10 століття).[1] <br /> Історія <br /> Алгебраїчні рівняння 1-го степеня з одним невідомим розв'язували вже в давньому Єгипті і давньому Вавілоні. Вавілонські переписувачі вміли розв'язувати і квадратні рівняння, а також найпростіші системи лінійних рівнянь і рівнянь 2-го степеня. За допомогою особливих таблиць вони розв'язували і деякі рівняння 3-го степеня, наприклад х3 + х = а. <br /> У Стародавній Греції квадратні рівняння розв'язували за допомогою геометричних побудов. Грецький математик Діофант розробив методи розв'язку алгебраїчних рівнянь і систем таких рівнянь з багатьма невідомими в раціональних числах. Наприклад, він розв'язав в раціональних числах рівняння х4 — у4 + z4 = n2, систему рівнянь і т. д. (див. Діофантові рівняння). <br /> Деякі геометричні задачі: подвоєння куба, трисекція кута, побудова правильного семикутника (див. Класичні задачі давнини) — зводяться до розв'язання кубічних рівнянь. Для їх розв'язку необхідноно було відшукати точки перетину конічних перетинів (еліпсів, парабол і гіпербол). Користуючись геометричними методами, математики середньовічного Сходу досліджували розв'язки кубічних рівнянь. Проте їм не вдалося вивести загальну формулу для їх розв'язку. Першим великим відкриттям західноєвропейської математики стала отримана в XVI ст. формула для розв'язку кубічного рівняння. Оскільки в той час від'ємні числа ще не отримали поширення, довелося окремо розбирати такі типи рівнянь: х3 + рх = q, х3 + q = рх і т. д. Італійський математик С. дель-Феро (1465—1526) розв'язав рівняння х3 + рх = q і повідомив розв'язок свому зятю і учневі А.-М. Фіоре, який викликав на математичний турнір чудового математика-самоучку Н. Тарталью (1499−1557). За кілька днів до турніру Тарталья знайшов загальний метод розв'язку кубічних рівнянь і переміг, швидко розв'язавши всі запропоновані йому 30 завдань. Проте знайдена Тартальєю формула для розв'язання рівняння х3 + рх + q = 0 <br /> <br /> була опублікована не ним, а італійським ученим Дж. Кардано (1501—1576), який дізнався її від Тартальї. Тоді ж Л. Феррарі (1522—1565), учень Кардано, знайшов розв'язок рівняння 4-го степеня. <br /> Створення алгебраїчної символіки і узагальнення поняття числа аж до комплексних чисел дозволили в XVII—XVIII ст. досліджувати загальні властивості алгебраїчних рівнянь вищих степенів, а також загальні властивості багаточленів від однієї і кількох змінних. <br /> Одною з найважливіших задач теорії алгебраїчних рівнянь в XVII—XVIII ст. було відшкання формули для розв'язку рівняння 5-го степеня. Після безплідних пошуків багатьох поколінь алгебраїстів зусиллями французького вченого XVIII в. Ж.Лагранжа (1736—1813), італійського вченого П. Руфіні (1765—1822) і норвезького математика Н. Абеля наприкінці XVIII — на початку XIX ст. було доведено, що не існує формули, за допомогою якої можна виразити корені будь-якого рівняння 5-го степеня через його коефіцієнти, використовуючи лише арифметичні операції й операцію кореня. Ці дослідження були завершено роботами Е.Галуа, теорія якого дозволяє для будь-якого рівняння визначити, виражаються його корені в радикалах. Ще до цього К. Ф. Гаус розв'язав проблему знаходження в квадратних радикалах коренів рівняння хn — 1 = 0, до якого зводиться задача про побудові за допомогою циркуля і лінійки правильного n-кутника. Зокрема, неможливо за допомогою цих інструментів побудувати правильний семикутник, дев'ятикутник і т. д. — така побудова можлива тоді, коли n — просте число виду чи добуток різних простих чисел такого виду. <br /> Поряд з пошуком формул для розв'язку конкретних рівнянь було досліджено питання про існування коренів алгебраїчного рівняння. У XVIII ст. французький філософ і математик Ж. д'Аламбер довів, що будь-яке алгебраїчне рівняння ненульової степені з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь. У доведенні Д'Аламбера були пропуски, яку пізніше доповнив Гаус. З цієї теореми випливало, що будь-який многочлен степеня n розкладається на n лінійних множників. <br /> В наш час теорія систем алгебраїчних рівнянь перетворилася в самостійну область математики — алгебраїчну геометрію. Вона вивчаються лінії, поверхні та многовиди вищих розмірностей, що задаються системами таких рівнянь.
Переглядів: 757 | Додав: Artyk | Рейтинг: 4.0/1
Всього коментарів: 0
Ім`я *:
Email *:
Код *:
Архів записів
Друзі сайту
Block title