Вступ
З огляду на розвиток сучасної економічної науки успішне навчання студентів економічних вузів значною мірою залежить від їхньої математичної підготовки. Щоб успішно вивчати мікро- та макроекономіку, маркетинг, фінанси і банківську справу, інформаційні системи й технології, потрібно належно опанувати такі програмні дисципліни, як вища математика, теорія ймовірностей, математичне програмування.
Навчання студентів із зазначених дисциплін неможливе без здобуття ними певного рівня знань, навичок і вмінь з елементарної математики. Отже, оцінка математичної підготовки абітурієнтів, яка здійснюється на вступних іспитах, є важливим моментом у визначенні достатності такої підготовки для навчання в економічному вузі.
Посібник адресовано учням старших класів та випускникам середніх учбових закладів для самостійного повторення та поглибленого засвоєння фундаментальних розділів елементарної математики, для отримання можливості подолати бар’єр, що відокремлює „шкільну” задачу від „конкурсної”. Вчителі математики загальноосвітніх навчальних закладів зможуть використовувати у своїй роботі матеріал, запропонований у посібнику, як дидактичний. Даний посібник може бути використаний студентами математичних спеціальностей для самостійної роботи по предмету.
Із запропонованих у посібнику задач формуються варіанти індивідуальної атестаційної роботи з геометрії.
У роботі наведено необхідний довідковий матеріал. Подано методичні вказівки до методів розв’язування планіметричних та стереометричних задач.
Видання може використовуватись у системі довузівської підготовки та для самостійної підготовки до випускних екзаменів в середній школі та до вступних іспитів.
1. Розв’язування планіметричних задач
1.1. Загальні рекомендації до розв'язування геометричних задач
Майже кожна геометрична задача потребує індивідуального підходу, певної частки винахідливості та інтуїції. Проте можна запропонувати деякі загальні рекомендації, що будуть корисні при розв'язуванні багатьох із таких задач.
Розв'язування практично будь-якої геометричної задачі починається з рисунка. Він повинен бути досить лаконічним. Слід зображати лише „функціонуючі” частини геометричних фігур: Так, наприклад, якщо в задачі розглядається радіус описаного кола, то найчастіше це коло можна не зображати. Якщо ж в умові задачі говориться про точку цього кола, то зображення кола може бути корисним для розв'язання задачі. Необхідно уникати надмірного ускладнення рисунка. Цього можна досягнути, наприклад, скориставшись виносними рисунками, що зображають фрагменти заданої конфігурації. Але, з іншого боку, корисно безпосередньо на рисунку вказувати числові чи буквені значення лінійних або кутових величин.
Слід ураховувати, що є цілий ряд задач, у процесі розв'язування яких доводиться уточнювати особливості розглядуваної конфігурації та переробляти початковий рисунок, так що остаточного вигляду рисунок набуває лише одночасно із закінченням розв'язування.
При розв'язуванні геометричної задачі не слід спиратися лише на рисунок. Він може „підказати”, що якісь точки розміщено на одній прямій чи на одному колі, але в процесі розв’язання ці особливості розміщення точок повинні бути обґрунтовані без посилань на рисунок.
Інколи рисунок може стати причиною неповного розв'язування задачі, оскільки ті співвідношення, які виконуються на ньому і здаються очевидними, насправді потребують спеціального обґрунтування. Тому завжди намагайтеся зобразити усі можливі конфігурації, а потім за допомогою міркувань відкинути зайве (якщо це зайве дійсно є).
Зазначимо, що додаткові побудови на початковому рисунку, які вводять нові кути та відрізки, іноді полегшують розв'язування задачі, а інколи й вказують на вихід із, здавалося б, нерозв'язної ситуації. Приклади таких додаткових побудов наведено у відповідних довідкових таблицях, коментарях до них та у прикладах розв'язань окремих задач.
У задачах на обчислення, які найчастіше зустрічаються на випускних та вступних іспитах, має сенс спочатку, не проводячи обчислень, визначити, які взагалі відрізки та кути можна знайти, виходячи із заданих величин. І як тільки до цього переліку потрапить потрібний відрізок чи кут, то можна легко скласти ланцюжок послідовних обчислень, який приведе до знаходження потрібної величини.
Інколи такий „прямий пошук” корисно доповнити пошуком плану розв’язування задачі „від шуканого”, тобто виходячи з вимог задачі (типу: „щоб знайти об’єм піраміди, треба знати площу її основи та її висоту”). Як правило, при варіанті „від шуканого” здійснюється лише один-два кроки пошуку плану розв’язування, а потім використовується „прямий пошук” – за допомогою послідовних обчислень, виходячи із заданих величин.
Проте зазначені способи не завжди вдається застосувати. У таких випадках дуже часто допомагає алгебраїчний метод розв’язання геометричних задач на обчислення, пов’язаний із введенням невідомих та складанням рівняння або системи рівнянь.
|
